Thực đơn
Phép biến đổi Laplace
Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên
Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).
| STT | Hàm | Hàm gốc (miền t) x ( t ) = L − 1 { X ( s ) } {\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}} | Hàm ảnh (miền s) X ( s ) = L { x ( t ) } {\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}} | Miền hội tụ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | trễ lý tưởng | δ ( t − τ ) {\displaystyle \delta (t-\tau )\ } | e − τ s {\displaystyle e^{-\tau s}\ } | |
| 1a | xung đơn vị | δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)\ } | 1 {\displaystyle 1\ } | mọi s |
| 2 | trễ mũ n với dịch chuyển tần số | ( t − τ ) n n ! e − α ( t − τ ) ⋅ u ( t − τ ) {\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )} | e − τ s ( s + α ) n + 1 {\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2a | mũ n (cho số nguyên n) | t n n ! ⋅ u ( t ) {\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)} | 1 s n + 1 {\displaystyle {1 \over s^{n+1}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2a.1 | mũ q (cho số thực q) | t q Γ ( q + 1 ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)} | 1 s q + 1 {\displaystyle {1 \over s^{q+1}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2a.2 | bậc thang đơn vị | u ( t ) {\displaystyle u(t)\ } | 1 s {\displaystyle {1 \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2b | bậc thang đơn vị có trễ | u ( t − τ ) {\displaystyle u(t-\tau )\ } | e − τ s s {\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2c | dốc | t ⋅ u ( t ) {\displaystyle t\cdot u(t)\ } | 1 s 2 {\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 2d | mũ n với dịch chuyển tần số | t n n ! e − α t ⋅ u ( t ) {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)} | 1 ( s + α ) n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}} | Re { s } > − α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,} |
| 2d.1 | suy giảm hàm mũ | e − α t ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ } | 1 s + α {\displaystyle {1 \over s+\alpha }} | Re { s } > − α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \ } |
| 3 | tiệm cận hàm mũ | ( 1 − e − α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ } | α s ( s + α ) {\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
| 4 | sine | sin ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ } | ω s 2 + ω 2 {\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
| 5 | cosine | cos ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ } | s s 2 + ω 2 {\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
| 6 | hyperbolic sine | sinh ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ } | α s 2 − α 2 {\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}} | Re { s } > | α | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ } |
| 7 | hyperbolic cosine | cosh ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ } | s s 2 − α 2 {\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}} | Re { s } > | α | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ } |
| 8 | hàm sine suy giảm theo hàm mũ | e α t sin ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ } | ω ( s − α ) 2 + ω 2 {\displaystyle {\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ } |
| 9 | hàm cosine suy giảm theo hàm mũ | e α t cos ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ } | s − α ( s − α ) 2 + ω 2 {\displaystyle {s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ } |
| 10 | căn bậc n | t n ⋅ u ( t ) {\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)} | s − ( n + 1 ) / n ⋅ Γ ( 1 + 1 n ) {\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 11 | logarit tự nhiên | ln ( t t 0 ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)} | − t 0 s [ ln ( t 0 s ) + γ ] {\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 12 | hàm Bessel of the first kind, of order n | J n ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)} | ω n ( s + s 2 + ω 2 ) − n s 2 + ω 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} ( n > − 1 ) {\displaystyle (n>-1)\,} |
| 13 | hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n | I n ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)} | ω n ( s + s 2 − ω 2 ) − n s 2 − ω 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}} | Re { s } > | ω | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,} |
| 14 | hàm Bessel loại hai, bậc 0 | Y 0 ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)} | − 2 sinh − 1 ( s / α ) π s 2 + α 2 {\displaystyle -{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
| 15 | hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 0 | K 0 ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)} | ||
| 16 | hàm sai số | e r f ( t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)} | e s 2 / 4 ( 1 − erf ( s / 2 ) ) s {\displaystyle {e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
chú thích:
|
Thực đơn
Phép biến đổi LaplaceLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Phép biến đổi Laplace